存在しないページにアクセスした場合、以下のようなLaravelのデフォルトのエラーページが表示されます。
これを独自のエラーページに切り替えたいと思い試行錯誤して何とか実現できたので、そのやり方をまとめたいと思います。

結論から言いますと、resources/viewsの中にerrorsフォルダを掘り、その中に404.blade.phpを作成することで独自のエラーページを表示することが可能になります。
ちなみに、例外をレンダリングしている場所は、app/Exceptions/Handler.phpのrenderメソッドでございます。
以下、Handler.phpのソースコードを抜粋
/** * Render an exception into an HTTP response. * * @param \Illuminate\Http\Request $request * @param \Exception $exception * @return \Illuminate\Http\Response */ public function render($request, Exception $exception) { return parent::render($request, $exception); }